甚么是狭义动量以及哈密顿量？《张背阴的物理课》教学哈密顿力学
从牛顿力学到拉格朗日力学 ，力学尚有其余方式吗 ？量子力学用哈密顿量形貌物理系统 ，义动阴哈密顿量事实是量及力学甚么 ？抛开直不雅的牛顿力学 ，动量事实是哈密甚么 ？10月27日12时，《张背阴的顿量物理课》第一百八十二期开播，搜狐独创人、张背董事局主席兼首席实施官 、物理物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间 ，课教首先回顾了假如在小角类似下精确求解双摆的学哈行动频率 ，随后介绍了狭义动量以及哈密顿量的密顿界说 ，引出典型力学的甚狭又一数学方式——哈密顿力学方式 。为了更好清晰这一方式 ，义动阴他将其运用到求解质点在中间力场中行动方程这一下场上，量及力学患上到与牛顿力学残缺不同的哈密服从。
从拉格朗日力学到哈密顿力学
自牛顿在17世纪建树起以矢量与多少多关连为根基的顿量力学框架后，因其泛用性以及坚贞性排汇了有数物理学家致使数学家取深入剖析其外在 。在1八、19世纪之交 ，由法国数学家拉格朗日（Lagrange）以及德国数学家雅可比（Jacobi）等人争先建议了力学数学化表白的行动，用合成以及代数措施重新构建了一套差距于矢量力学（牛顿力学），但又相互容纳的框架，今世又被称之为“合成力学”。
在近多少节直播课上 ，张背阴之后一个角度 ，重新回归对于典型力学的演算 。他介绍道 ，拉格朗日提出，一个力学零星可能用一个称为拉格朗日量（Lagrangian）的函数来形貌，它是狭义坐标 q 及其对于光阴求导的函数
对于典型的激进零星 ，它有至关重大的方式
即动能减去势能 。零星的行动道路要求知足使患上熏染量最小的欧拉-拉格朗日方程
这里需要夸张的是 ，在求偏导运算中，需要将拉格朗日量视为一个二元函数 。此时 ，它的两个变量之间被视为是相互自力的——尽管物理上它们惟独相差一个求导 ，即在求其中一个变量求导时，艰深假如摁住另一个变量令其再也不修正。为了夸张这一点，再本节叙述中可能引入旗号
如下标显式注明巩固量 。
留意到拉格朗日量中两个变量的不同过错称性，在拉格朗日力学宣告的50年后 ，爱尔兰数学家哈密顿提出另一个今世被称为“哈密顿力学”的框架 。哈密顿以为，力学零星可能用另一个被称为哈密顿量（Hamiltonian）的二元函数
表白 。此时 ，它依赖的两个变量狭义坐标 q 与狭义动量 p，在物理意思上也相互自力，使患上表白方式在数学上加倍对于称 。在拉格朗日力学的根基上 ，哈密顿将狭义动量界说为
而哈密顿量为
值患上留意的是 ，此时等号坐标是 p 以及 q 的函数，等号右侧理当也坚持不同 。在实际推导时 ，理当将狭义坐标的光阴倒数连同拉格朗日量用新变量重新表白为
这一点在前面妨碍详细合计时尤为紧张 。如今思考对于哈密顿量求偏导 ，运用链式纪律 ，
运用狭义动量 p 的界说 ，不美不雅出 ，等号右侧后两项可能相互对于消 。于是有
相似地 ，可能求哈密顿量对于狭义坐标 q 的偏导数 ，有
再运用拉格朗日方程，最后一个等号可能不断化简为
两式散漫 ，即患上到哈密顿方程（组）
第二条等式中，等号右侧是动量对于光阴的偏导 ，等号右侧事实上界说了所谓的“狭义力” 。更值患上一说的是 ，他们之间有至关对于称的方式 ：某一变量随光阴的演化 ，应由哈密顿量对于另一变量的偏导抉择 ，可能再一次印证前述提到变量 p 以及 q 之间的对于称性 。
进一步，假如哈密顿量不显含时——即它对于光阴的依赖残缺来自于两个变量对于光阴的依赖——时，可能证实 ，哈密顿量是零星的守恒量 。同样是运用链式求导纪律，
其中 ，第二个等号即用到了哈密顿方程（组） 。
（张背阴推导哈密顿方程（组））
运用哈密顿力学求天体行动方程
为了更好地清晰哈密顿力学若何求解详细力学下场 ，无妨将其运用于审核中间力场 ，好比引力场中质点的行动。在前面的课程中 ，张背阴曾经演示过用拉格朗日力学来处置过这一下场 。
如图 ，假如有一个品质为 m 的天体微扰一个品质为 M 的天体转折 。狭义坐标仍取为径向距离 r 以及角度 θ ，系统的动能以及势能分说可能写为
由于引力是激进力 ，拉格朗日量可能写为
对于应的狭义动量可能写为
反以前 ，狭义坐标对于光阴的导数可能用狭义动量表白为
于是 ，按界说哈密顿量理当取为
留意这里有多个狭义坐标以及对于应的狭义动量，在最后一步，需要把所有变量改写为以狭义动量表白的方式。此时 ，求径向距离 r 以及对于应动量 pr 的哈密顿方程（组） ，首先
此即狭义动量的界说式 ，并不带来新的内容 。而对于 r 求偏导 ，则有
等号另一边
于是可能患上到
等号右侧是减速率项 ，等号右侧第二项是向内的引力，而第一项可能改写为
不美不雅出它即是向外的离心力 ，与用牛顿定理推进去的径向方程不同 。再求角坐标 θ 相关的哈密顿方程（组） ，对于狭义动量求导
同样患上到的是界说式 。对于应的另一条方程是
此即角动量守恒 。更进一步 ，代入界说式
即患上到开普勒定律 。可能看到，哈密顿力学系统可能很简略地回到牛顿力学的服从 。
（张背阴求解质点在中间力场中的行动方程）
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